p.288 1. 고전역학은 더 세밀한 구조를 필요로 하는 고체에 대해 설명하는 데에는 문제가 있다는 것이다.  2. 어떻게 그 모양을 유지할 수 있는가 하는 문제가 발생하는 것이다. 양자론이 필요하다.  3. 패러데이는 전기와 자기장은 실제로 존재하는 물리적인 '물체'라는 것을 믿게 되었고, 일종의 '파동'을 생성할 수 있다는 사실을 알게 되었다.  4. 에너지가 이처럼 '몸체가 없는' 전자기파에 의하여 이리저리로 운반될 수 있다는 놀라운 사실은 헤르츠가 그러한 파동을 감지함으로써 실험적으로도 확인되었다.

p.280 1. Q가 움직일 수 있는 작은 화살표를 얻게 되었는데, 화살표들의 전체 배열은 백터장 vector field라는 것을 구성한다.  2. R₀가 시간이 지남에 따라 해밀턴 벡터장에 따라 이끌려서 시점 t에 이르러서는 Rₜ가 되었다고 가정한다.  3. Rₜ가 한 지역에 몰릴 것인가, 아니면 위상공간에 넓게 퍼지게 될 것인가. 시간이 지나도 한 지역 내내 머물러 있게 되면 이 시스템은 안정성을 갖는다.  4. 잉크에 있는 실제 부피는 변하지 않지만, 그것은 결국 용기의 내용물 전체에 얇게 퍼지게 된다.  5. 문제는 부피의 보존이 모양의 보존까지 암시하는 것은 절대로 아니라는 것이다. 낮은 차원보다는 고차원 공간에서 더욱 심각해지는데, '방향'이 훨씬 많아지기 때문이다.  6. 에너지 운동량, 각..

p.275 1. 나는 이런 종류의 '카오스적' 행동을 '계산 불가능성'이라고 표현하는 대신 '예측 불가능성 Unpredictability '라고 표현하고자 한다. 2. 아일랜드의 수학자 윌리엄 로안 해밀턴 William Rouan Hamilton(1805~1865), 파동과 입자와의 관계에 대한 암시, 양자역학이 개발되는 데 매우 중요한 역할을 했다. 3. 해밀턴의 한 가지 새로운 요소는 물리적 체계를 설명하는 과정에서 '변수 Variable'를 사용했다는 것이다. 4. 해밀턴 방정식의 첫 번째 집합은 뉴턴의 중요한 제2운동 법칙(운동량의 변호도 = 힘)을 사용하고 있고, 두 번째 방정식 군은 속도의 관점에서 운동량이 실제로 무엇인가를 말해주고 있다.  5. 해밀턴 방정식의 형식은, 고전 시스템의 전개를..

p.264 1. 총의 반동 또한 운동량 보존을 보여주는 예이다. 물체의 회전 운동량을 보여주는 각 운동량 angular momentum 보존법칙이다.  2. 뉴턴은 물체의 행동 법칙을 지배하는 3대 법칙을 제시했다. 뉴턴의 놀라운 제3법칙(작용•반작용)의 필요성을 인식했다는 점에 있다.  3. 그 시점 이후에 그들의 위치와 속도(그리고 상수로 지정된 질량)는 모두 수학적으로 결정될 수 있을 것이다. 결정론은 철학적 사고에 깊은 영향력을 주었다. '자유의지 Free will'의 문제에 대하여 우리에게 무엇을 말하고 있는가? 4. 위치와 속도에 의하여 미래(혹은 과거)의 모든 시간에 대해 수학적으로 완전히 결정된다는 의미로 이해하여야 한다.  5. 결정적이면서도 계산 가능하지 않은 '장난감 모형 시계'를 만..

p.262 1. 그 운동의 속력은 단지 그것이 움직이기 시작한 위치로부터의 거리에서만 항상 의존한다는 사실에 주목했다.  2. 특정 위치에 저장된 에너지(중력에 의한 위치 에너지)는 운동의 에너지(속력에 따른 위치 에너지)로 전환될 수 있고 또 역으로 그것이 전환될 수 있지만 전체 에너지는 결코 잃거나 보태지지 않는다는 것이다. 에너지 보존 법칙은 매우 중요한 물리 원칙이다.  3. 에너지 보존 법칙은 갈릴레이의 상대성 원리와 결합하여 매우 중요한 형태의 또 다른 보존법칙, 즉 질량 mess 및 운동량 momentun 보존 법칙을 만들어 낸다는 사실. 한 입자의 운동량은 질량과 속도의 곱이다.

p.254 1. 훨씬 더 훌륭한 과학자였다. 바로 고대의 위대한 사상가 중 하나이자 수학자, 천문학자인 에우독소스이다.  2. 유클리드의 저서  중 제5장은 에우독소스의 '비례이론 theory of propotion'에 대한 자세한 설명인데, 인류 역사상 가장 중요하고 영향력 있는 연구. 3. 1638년, 갈릴레이의 [논고 Discus]가 출판됨에 따라 동역학이라는 새로운 학문이 태동하게 되었고  4. 속도란 시간에 대한 위치 그 지점에서의 위치 변화율을 말한다. 벡터량이란 그 크기뿐만 아니라 방향까지도 고려한 값을 의미한다.  5. 가속도란 시간에 대한 속도의 변화율이다. 시간에 대한 위치의 변환율의 변화율이다! 6. 자유 운동 상태의 물체는 그 방향으로 등속운동을 계속하는데, 이를 위해서는 힘이 필요..

p.251 1. 토비체프스키 기하(혹은 쌍곡 hyerblic 기하)라 불리는 또 다른 기하학이 있는데, 그 합이 180°보다 항상 작은데, 그 차이는 삼각형의 면적에 비례한다.  2. 토바체프스키 기하에서는 한가운데에 있거나 다른 곳에 있거나 모두 동일하게 보일 것이다. '경계'처럼 나타난 부분은 실제로는 토바체프스키 기하에서 '무한'에 속한다.  3. 유클리드 기하가 그처럼 정확히 이 세상 공간의 구조를 반영하는 것처럼 보였기 때문에 우리는 이 기하학이 논리적 필연성을 갖는다는 잘못된 인식을 갖게 되었고  4. 실제 경험의 물체에 대하여 완전히 정확하게 적용되어야 한다고 강요할 수는 없다. 외부 세계의 작동원리는 궁극적으로 정확한 수학에 의해서만 이해될 수 있는데, '지능'을 통해서만 도달될 수 있음.

1. 더 흥미로운 문제는 다항식 시간 내에 답의 작성뿐만 아니라 정확성까지 확인할 수 있는 것들이다.  2. NP 문제는 수학 자체뿐만 아니라 여러 가지 상황에서 발생한다. 간단한 수학적 예, 소위 해밀턴 회로를 찾는 문제다. Hamiltonian circuit 3. 의식이 어떻게 자연의 일부가 될 수 있는가를 파악하기 위하여 우리가 알아야 할 자연의 법칙들은 과연 무엇인가? 4. 양자를 quantum theory은 분자, 원자, 아원자 Sub-atomic 입자의 행위를 설명해 주는 불규칙하고 비결정적인 불가사의 이론인 반면 5. 고전 이론은 결정론적으로서 미래는 항상 과거에 의해서 결정된다는 학설이다.  6. 맥스웰의 이론은 현대의 기술발전에서 상당히 중요한 이론이고, 또 전자기적 현상이 두뇌의 작용과..

1. 비주기적인 패턴은 여러 놀라운 특성을 갖는데, 결정학적으로 불가능한 것처럼 보이는 5중 대칭 Fivefold symmetry의 준주기적 quasi-periodic 구조라는 것이다.  2. 재귀적이지 않다면 알고리즘으로 도달할 수 없는 영역은 아주 섬세한 특성을 지닐뿐만 아니라 찾기도 어려울 것이다.  3. 아주 어려운 것은 매우 느린 알고리즘으로만 풀릴 수 있다. 이런 종류의 문제와 관련된 이론을 복잡도 이론 comlexity theory이라 부른다.  4. 한 집단 내에서도 문제들은 '크기'가 서로 다른데, 문제의 크기는 n을 측정 단위로 사용한다.  5. 크기가 n인 모든 문제 가운데 알고리즘의 단계 중 가장 큰 수가 N이라고 하자.  6. N의 증가율은 항상 같은 범주로 구분될 수 있게끔 하기..

p.208 1. 컴퓨터야말로 알고리즘적 행위의 실체 구현이 아닌가? 우리는 컴퓨터가 실제로 어떻게 이러한 화상을 어떻게 생성하는가 하는 방법을 염두에 두어야 한다. 2. 그 수열이 무한대로 계속될 때 어떻게 될 것인가를 알아야 한다. 그 자체는 계산할 수 있는 성질이 아니다. 그러나 다행히도 유한개의 행만 보고도 그 수율이 유한한가를 알 수 있는 방법이 있다.  3. 일종의 표면을 상상해 보자. 두 다양체의 '위상적 동형'이란 그중 하나가 연속적인 동작(찢거나 붙이지 않고)에 의해 다른 것으로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.  4. 비재귀적인 수학 문제의 마지막 예로써, 유클리드 평면을 다각형 도형들로 덮는 문제를 생각해 보자.  5. 여백이나 중복 없이 그 평면을 완전하게 덮는 것이 가능한가를 알고자..