p.262 1. 그 운동의 속력은 단지 그것이 움직이기 시작한 위치로부터의 거리에서만 항상 의존한다는 사실에 주목했다.  2. 특정 위치에 저장된 에너지(중력에 의한 위치 에너지)는 운동의 에너지(속력에 따른 위치 에너지)로 전환될 수 있고 또 역으로 그것이 전환될 수 있지만 전체 에너지는 결코 잃거나 보태지지 않는다는 것이다. 에너지 보존 법칙은 매우 중요한 물리 원칙이다.  3. 에너지 보존 법칙은 갈릴레이의 상대성 원리와 결합하여 매우 중요한 형태의 또 다른 보존법칙, 즉 질량 mess 및 운동량 momentun 보존 법칙을 만들어 낸다는 사실. 한 입자의 운동량은 질량과 속도의 곱이다.

p.254 1. 훨씬 더 훌륭한 과학자였다. 바로 고대의 위대한 사상가 중 하나이자 수학자, 천문학자인 에우독소스이다.  2. 유클리드의 저서  중 제5장은 에우독소스의 '비례이론 theory of propotion'에 대한 자세한 설명인데, 인류 역사상 가장 중요하고 영향력 있는 연구. 3. 1638년, 갈릴레이의 [논고 Discus]가 출판됨에 따라 동역학이라는 새로운 학문이 태동하게 되었고  4. 속도란 시간에 대한 위치 그 지점에서의 위치 변화율을 말한다. 벡터량이란 그 크기뿐만 아니라 방향까지도 고려한 값을 의미한다.  5. 가속도란 시간에 대한 속도의 변화율이다. 시간에 대한 위치의 변환율의 변화율이다! 6. 자유 운동 상태의 물체는 그 방향으로 등속운동을 계속하는데, 이를 위해서는 힘이 필요..

p.251 1. 토비체프스키 기하(혹은 쌍곡 hyerblic 기하)라 불리는 또 다른 기하학이 있는데, 그 합이 180°보다 항상 작은데, 그 차이는 삼각형의 면적에 비례한다.  2. 토바체프스키 기하에서는 한가운데에 있거나 다른 곳에 있거나 모두 동일하게 보일 것이다. '경계'처럼 나타난 부분은 실제로는 토바체프스키 기하에서 '무한'에 속한다.  3. 유클리드 기하가 그처럼 정확히 이 세상 공간의 구조를 반영하는 것처럼 보였기 때문에 우리는 이 기하학이 논리적 필연성을 갖는다는 잘못된 인식을 갖게 되었고  4. 실제 경험의 물체에 대하여 완전히 정확하게 적용되어야 한다고 강요할 수는 없다. 외부 세계의 작동원리는 궁극적으로 정확한 수학에 의해서만 이해될 수 있는데, '지능'을 통해서만 도달될 수 있음.

1. 더 흥미로운 문제는 다항식 시간 내에 답의 작성뿐만 아니라 정확성까지 확인할 수 있는 것들이다.  2. NP 문제는 수학 자체뿐만 아니라 여러 가지 상황에서 발생한다. 간단한 수학적 예, 소위 해밀턴 회로를 찾는 문제다. Hamiltonian circuit 3. 의식이 어떻게 자연의 일부가 될 수 있는가를 파악하기 위하여 우리가 알아야 할 자연의 법칙들은 과연 무엇인가? 4. 양자를 quantum theory은 분자, 원자, 아원자 Sub-atomic 입자의 행위를 설명해 주는 불규칙하고 비결정적인 불가사의 이론인 반면 5. 고전 이론은 결정론적으로서 미래는 항상 과거에 의해서 결정된다는 학설이다.  6. 맥스웰의 이론은 현대의 기술발전에서 상당히 중요한 이론이고, 또 전자기적 현상이 두뇌의 작용과..

1. 비주기적인 패턴은 여러 놀라운 특성을 갖는데, 결정학적으로 불가능한 것처럼 보이는 5중 대칭 Fivefold symmetry의 준주기적 quasi-periodic 구조라는 것이다.  2. 재귀적이지 않다면 알고리즘으로 도달할 수 없는 영역은 아주 섬세한 특성을 지닐뿐만 아니라 찾기도 어려울 것이다.  3. 아주 어려운 것은 매우 느린 알고리즘으로만 풀릴 수 있다. 이런 종류의 문제와 관련된 이론을 복잡도 이론 comlexity theory이라 부른다.  4. 한 집단 내에서도 문제들은 '크기'가 서로 다른데, 문제의 크기는 n을 측정 단위로 사용한다.  5. 크기가 n인 모든 문제 가운데 알고리즘의 단계 중 가장 큰 수가 N이라고 하자.  6. N의 증가율은 항상 같은 범주로 구분될 수 있게끔 하기..

p.208 1. 컴퓨터야말로 알고리즘적 행위의 실체 구현이 아닌가? 우리는 컴퓨터가 실제로 어떻게 이러한 화상을 어떻게 생성하는가 하는 방법을 염두에 두어야 한다. 2. 그 수열이 무한대로 계속될 때 어떻게 될 것인가를 알아야 한다. 그 자체는 계산할 수 있는 성질이 아니다. 그러나 다행히도 유한개의 행만 보고도 그 수율이 유한한가를 알 수 있는 방법이 있다.  3. 일종의 표면을 상상해 보자. 두 다양체의 '위상적 동형'이란 그중 하나가 연속적인 동작(찢거나 붙이지 않고)에 의해 다른 것으로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.  4. 비재귀적인 수학 문제의 마지막 예로써, 유클리드 평면을 다각형 도형들로 덮는 문제를 생각해 보자.  5. 여백이나 중복 없이 그 평면을 완전하게 덮는 것이 가능한가를 알고자..

p.196 1. 현대 수리철학의 세 가지 주류로써 형식주의, 직관주의, 플라톤주의를 살펴보았다. 플라톤주의에서 수학적 진리를 절대적이고, 외향적이며, 영원하고, 인간이  만든 척도에 좌우되지 않는다.  2. 어떤 증명이 과연 진정한 증명인지 아닌지를 완전히 기계적이고 미리 결정된 방식으로 검증할 수 있어야만, 즉 증명을 검증할 알고리즘이 있어야만 한다는 것이다.  3. P와 같이 특정한 알고리즘에 의하여 생성될 수 있는 집합을 재귀적 열거 기능 집합 recursive enumerable set이라 부른다.4. 집합 중에 그 자신과 여집합을 모두 재귀적으로 열거할 수 있는 집합을 재귀 함수 recursive set이라 부른다. 물론 재귀 집합의 여집합도 재귀 집합이다. 5. 우리가 선정한 형식 체계가 완전..

팟플레이어로 녹화를 할 수 있습니다.그것도 시간 제약 없이 말이죠.해당 방법을 정리합니다.   1. 팟플레이어 설치 우선 플레이어를 설치해야 합니다.아래 링크에서 다운받을 수 있습니다. 팟플레이어 안내https://tv.kakao.com/guide/potplayer 카카오TV톡에서 즐기는 동영상 콘텐츠! 지금 카톡에서 카카오TV 채널을 추가해보세요.tv.kakao.com 32비트, 64비트 2가지가 있습니다.어떤 걸 받아도 상관없습니다.  설치는 간단합니다.계속 '다음'이나 '확인'을 클릭하면 됩니다.   설치가 완료되면 이런 창이 뜹니다.    2. 녹화 카메라 설정팟플레이어에서 녹화를 위해 카메라가 필요합니다.실제 카메라가 아니라 녹화 영역을 의미합니다.이게 설정되지 않으면 녹화, 녹음이 불가능합니다..

1. 1939년에 발표된 튜닝의 논문에서 거론되었다. 어떤 참인 명제건 간에 모두 이러한 형태의 반복된 '괴델화 Godelization' 과정에 의해서 얻을 수 있다는 것이다.  2. 이를 위해서는 무한 집합이 특정한 알고리즘 방식으로 체계화될 수 있어야 한다. 체계 밖에서 이를 들여야 보는 통찰력이 필요하다. 이러한 통찰력은 체계화될 수 없다.  3. 아무튼 어떠한 수학적 진리의 개념이든 어떤 형식주의적 개념에도 담길 수 없다는 것이 괴델 분명한 결론인 듯하다. 수학적 진리는 단순한 형식주의 이상의 어떤 것이다. 4. '집합 Set'과 '클래스 Class'에 대하여 한 가지 구분이 설정되었다. 그에 따르면 집합은 모여서 다른 집합이나 클래스를 이룰 수 있지만, 클래스는 모여서 다른 클래스를 이룰 수 없..

1. '공리 및 추론규칙들로 이루어진 형식 수학 체계 formal mathmatical system'가 무엇을 의미하는지  2. 논리 기호로서 '&(and)', '⇒(implies)', 'V(or)', '⇔(if or only if)', '~(not)' 등이 필요할 것이다. 이외에도 논리 양화자인 ∃(존재 양화사 existention quantifier: '~한 것이 존재한다') 와 ∀(전칭 양화사 universal quanlifier: '모든 것은 ~하다')가 필요하다.  3. ~∃x[πₙ proves Pω(w)] x번째 증명이 실제로 Pω( )에 W를 적용한 명제에 대한 증명이라는 것이다. 결과적으로 전체식이 의미하는 것은 Pω(W)에 대한 증명은 존재하지 않는다는 것이다.  4. 우리는 체계내에서 ..