p.254 1. 훨씬 더 훌륭한 과학자였다. 바로 고대의 위대한 사상가 중 하나이자 수학자, 천문학자인 에우독소스이다.  2. 유클리드의 저서  중 제5장은 에우독소스의 '비례이론 theory of propotion'에 대한 자세한 설명인데, 인류 역사상 가장 중요하고 영향력 있는 연구. 3. 1638년, 갈릴레이의 [논고 Discus]가 출판됨에 따라 동역학이라는 새로운 학문이 태동하게 되었고  4. 속도란 시간에 대한 위치 그 지점에서의 위치 변화율을 말한다. 벡터량이란 그 크기뿐만 아니라 방향까지도 고려한 값을 의미한다.  5. 가속도란 시간에 대한 속도의 변화율이다. 시간에 대한 위치의 변환율의 변화율이다! 6. 자유 운동 상태의 물체는 그 방향으로 등속운동을 계속하는데, 이를 위해서는 힘이 필요..

1. 더 흥미로운 문제는 다항식 시간 내에 답의 작성뿐만 아니라 정확성까지 확인할 수 있는 것들이다.  2. NP 문제는 수학 자체뿐만 아니라 여러 가지 상황에서 발생한다. 간단한 수학적 예, 소위 해밀턴 회로를 찾는 문제다. Hamiltonian circuit 3. 의식이 어떻게 자연의 일부가 될 수 있는가를 파악하기 위하여 우리가 알아야 할 자연의 법칙들은 과연 무엇인가? 4. 양자를 quantum theory은 분자, 원자, 아원자 Sub-atomic 입자의 행위를 설명해 주는 불규칙하고 비결정적인 불가사의 이론인 반면 5. 고전 이론은 결정론적으로서 미래는 항상 과거에 의해서 결정된다는 학설이다.  6. 맥스웰의 이론은 현대의 기술발전에서 상당히 중요한 이론이고, 또 전자기적 현상이 두뇌의 작용과..

1. 비주기적인 패턴은 여러 놀라운 특성을 갖는데, 결정학적으로 불가능한 것처럼 보이는 5중 대칭 Fivefold symmetry의 준주기적 quasi-periodic 구조라는 것이다.  2. 재귀적이지 않다면 알고리즘으로 도달할 수 없는 영역은 아주 섬세한 특성을 지닐뿐만 아니라 찾기도 어려울 것이다.  3. 아주 어려운 것은 매우 느린 알고리즘으로만 풀릴 수 있다. 이런 종류의 문제와 관련된 이론을 복잡도 이론 comlexity theory이라 부른다.  4. 한 집단 내에서도 문제들은 '크기'가 서로 다른데, 문제의 크기는 n을 측정 단위로 사용한다.  5. 크기가 n인 모든 문제 가운데 알고리즘의 단계 중 가장 큰 수가 N이라고 하자.  6. N의 증가율은 항상 같은 범주로 구분될 수 있게끔 하기..

p.208 1. 컴퓨터야말로 알고리즘적 행위의 실체 구현이 아닌가? 우리는 컴퓨터가 실제로 어떻게 이러한 화상을 어떻게 생성하는가 하는 방법을 염두에 두어야 한다. 2. 그 수열이 무한대로 계속될 때 어떻게 될 것인가를 알아야 한다. 그 자체는 계산할 수 있는 성질이 아니다. 그러나 다행히도 유한개의 행만 보고도 그 수율이 유한한가를 알 수 있는 방법이 있다.  3. 일종의 표면을 상상해 보자. 두 다양체의 '위상적 동형'이란 그중 하나가 연속적인 동작(찢거나 붙이지 않고)에 의해 다른 것으로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.  4. 비재귀적인 수학 문제의 마지막 예로써, 유클리드 평면을 다각형 도형들로 덮는 문제를 생각해 보자.  5. 여백이나 중복 없이 그 평면을 완전하게 덮는 것이 가능한가를 알고자..

p.196 1. 현대 수리철학의 세 가지 주류로써 형식주의, 직관주의, 플라톤주의를 살펴보았다. 플라톤주의에서 수학적 진리를 절대적이고, 외향적이며, 영원하고, 인간이  만든 척도에 좌우되지 않는다.  2. 어떤 증명이 과연 진정한 증명인지 아닌지를 완전히 기계적이고 미리 결정된 방식으로 검증할 수 있어야만, 즉 증명을 검증할 알고리즘이 있어야만 한다는 것이다.  3. P와 같이 특정한 알고리즘에 의하여 생성될 수 있는 집합을 재귀적 열거 기능 집합 recursive enumerable set이라 부른다.4. 집합 중에 그 자신과 여집합을 모두 재귀적으로 열거할 수 있는 집합을 재귀 함수 recursive set이라 부른다. 물론 재귀 집합의 여집합도 재귀 집합이다. 5. 우리가 선정한 형식 체계가 완전..

1. '공리 및 추론규칙들로 이루어진 형식 수학 체계 formal mathmatical system'가 무엇을 의미하는지  2. 논리 기호로서 '&(and)', '⇒(implies)', 'V(or)', '⇔(if or only if)', '~(not)' 등이 필요할 것이다. 이외에도 논리 양화자인 ∃(존재 양화사 existention quantifier: '~한 것이 존재한다') 와 ∀(전칭 양화사 universal quanlifier: '모든 것은 ~하다')가 필요하다.  3. ~∃x[πₙ proves Pω(w)] x번째 증명이 실제로 Pω( )에 W를 적용한 명제에 대한 증명이라는 것이다. 결과적으로 전체식이 의미하는 것은 Pω(W)에 대한 증명은 존재하지 않는다는 것이다.  4. 우리는 체계내에서 ..