p.264 1. 총의 반동 또한 운동량 보존을 보여주는 예이다. 물체의 회전 운동량을 보여주는 각 운동량 angular momentum 보존법칙이다.  2. 뉴턴은 물체의 행동 법칙을 지배하는 3대 법칙을 제시했다. 뉴턴의 놀라운 제3법칙(작용•반작용)의 필요성을 인식했다는 점에 있다.  3. 그 시점 이후에 그들의 위치와 속도(그리고 상수로 지정된 질량)는 모두 수학적으로 결정될 수 있을 것이다. 결정론은 철학적 사고에 깊은 영향력을 주었다. '자유의지 Free will'의 문제에 대하여 우리에게 무엇을 말하고 있는가? 4. 위치와 속도에 의하여 미래(혹은 과거)의 모든 시간에 대해 수학적으로 완전히 결정된다는 의미로 이해하여야 한다.  5. 결정적이면서도 계산 가능하지 않은 '장난감 모형 시계'를 만..

p.254 1. 훨씬 더 훌륭한 과학자였다. 바로 고대의 위대한 사상가 중 하나이자 수학자, 천문학자인 에우독소스이다.  2. 유클리드의 저서  중 제5장은 에우독소스의 '비례이론 theory of propotion'에 대한 자세한 설명인데, 인류 역사상 가장 중요하고 영향력 있는 연구. 3. 1638년, 갈릴레이의 [논고 Discus]가 출판됨에 따라 동역학이라는 새로운 학문이 태동하게 되었고  4. 속도란 시간에 대한 위치 그 지점에서의 위치 변화율을 말한다. 벡터량이란 그 크기뿐만 아니라 방향까지도 고려한 값을 의미한다.  5. 가속도란 시간에 대한 속도의 변화율이다. 시간에 대한 위치의 변환율의 변화율이다! 6. 자유 운동 상태의 물체는 그 방향으로 등속운동을 계속하는데, 이를 위해서는 힘이 필요..

1. 더 흥미로운 문제는 다항식 시간 내에 답의 작성뿐만 아니라 정확성까지 확인할 수 있는 것들이다.  2. NP 문제는 수학 자체뿐만 아니라 여러 가지 상황에서 발생한다. 간단한 수학적 예, 소위 해밀턴 회로를 찾는 문제다. Hamiltonian circuit 3. 의식이 어떻게 자연의 일부가 될 수 있는가를 파악하기 위하여 우리가 알아야 할 자연의 법칙들은 과연 무엇인가? 4. 양자를 quantum theory은 분자, 원자, 아원자 Sub-atomic 입자의 행위를 설명해 주는 불규칙하고 비결정적인 불가사의 이론인 반면 5. 고전 이론은 결정론적으로서 미래는 항상 과거에 의해서 결정된다는 학설이다.  6. 맥스웰의 이론은 현대의 기술발전에서 상당히 중요한 이론이고, 또 전자기적 현상이 두뇌의 작용과..

1. 비주기적인 패턴은 여러 놀라운 특성을 갖는데, 결정학적으로 불가능한 것처럼 보이는 5중 대칭 Fivefold symmetry의 준주기적 quasi-periodic 구조라는 것이다.  2. 재귀적이지 않다면 알고리즘으로 도달할 수 없는 영역은 아주 섬세한 특성을 지닐뿐만 아니라 찾기도 어려울 것이다.  3. 아주 어려운 것은 매우 느린 알고리즘으로만 풀릴 수 있다. 이런 종류의 문제와 관련된 이론을 복잡도 이론 comlexity theory이라 부른다.  4. 한 집단 내에서도 문제들은 '크기'가 서로 다른데, 문제의 크기는 n을 측정 단위로 사용한다.  5. 크기가 n인 모든 문제 가운데 알고리즘의 단계 중 가장 큰 수가 N이라고 하자.  6. N의 증가율은 항상 같은 범주로 구분될 수 있게끔 하기..

p.208 1. 컴퓨터야말로 알고리즘적 행위의 실체 구현이 아닌가? 우리는 컴퓨터가 실제로 어떻게 이러한 화상을 어떻게 생성하는가 하는 방법을 염두에 두어야 한다. 2. 그 수열이 무한대로 계속될 때 어떻게 될 것인가를 알아야 한다. 그 자체는 계산할 수 있는 성질이 아니다. 그러나 다행히도 유한개의 행만 보고도 그 수율이 유한한가를 알 수 있는 방법이 있다.  3. 일종의 표면을 상상해 보자. 두 다양체의 '위상적 동형'이란 그중 하나가 연속적인 동작(찢거나 붙이지 않고)에 의해 다른 것으로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.  4. 비재귀적인 수학 문제의 마지막 예로써, 유클리드 평면을 다각형 도형들로 덮는 문제를 생각해 보자.  5. 여백이나 중복 없이 그 평면을 완전하게 덮는 것이 가능한가를 알고자..

p.196 1. 현대 수리철학의 세 가지 주류로써 형식주의, 직관주의, 플라톤주의를 살펴보았다. 플라톤주의에서 수학적 진리를 절대적이고, 외향적이며, 영원하고, 인간이  만든 척도에 좌우되지 않는다.  2. 어떤 증명이 과연 진정한 증명인지 아닌지를 완전히 기계적이고 미리 결정된 방식으로 검증할 수 있어야만, 즉 증명을 검증할 알고리즘이 있어야만 한다는 것이다.  3. P와 같이 특정한 알고리즘에 의하여 생성될 수 있는 집합을 재귀적 열거 기능 집합 recursive enumerable set이라 부른다.4. 집합 중에 그 자신과 여집합을 모두 재귀적으로 열거할 수 있는 집합을 재귀 함수 recursive set이라 부른다. 물론 재귀 집합의 여집합도 재귀 집합이다. 5. 우리가 선정한 형식 체계가 완전..